Nama : Rafi Ramadhan Ghifari
NIM : 202231013
Kelas : A
Program Studi : Teknik Informatika
Pada kesempatan kali ini saya akan menyampaikan materi terkait Basis Ortonormal dan Proses Gram-Schmidt
A. Pengertian Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam(inner product) dapat dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Himpunan ortogonal yang pada setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.
Contoh :
S = {u1,u2, ........... , un} dengan u1 = [1,2,1], u2 = [1,-1,1] dan u3 = [1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R³ karena [u1,u2] = [u1,u3] = [u2,u3] = 0.
Istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi.
Catatan :
1.Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :
x = [x,u1]u1 + [x,u2]u2 + … + [x,un]un
2. Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal. Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :
v = [v,u1]u1 + [v,u2]u2 + … + [v,un]un
B. Proses Gram-Schmidt
Setiap ruang hasil kali dalam dimensi hingga tak nol mempunyai basis ortonormal.
Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah sebagai berikut,
