Transformasi Linier

Nama : Rafi Ramadhan Ghifari

NIM : 202231013

Kelas : A

Program Studi : Teknik Informatika

Pada kesempatan kali ini saya akan menyampaikan materi terkait Transformasi Linier

A. Pengertian Transformasi Linier

Misalkan V dan W sebuah ruang vektor. T : V --> W adalah transformasi linier jika untuk setiap vektor a, vektor b memiliki elemen di V dan alpha berelemen di R(ruang).

*Jika V = W maka T merupakan operator linear

Contoh : 

Buktikan jika T : R² --> R³ yang dimana (perhatikan gambar dibawah) merupakan transformasi linier ! 

----> Rumus Transformasi

Jawab : 

Basis Ortonormal dan Gram-Schmidt

Nama : Rafi Ramadhan Ghifari

NIM : 202231013

Kelas : A

Program Studi : Teknik Informatika

Pada kesempatan kali ini saya akan menyampaikan materi terkait Basis Ortonormal dan Proses Gram-Schmidt

A. Pengertian Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam(inner product) dapat dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Himpunan ortogonal yang pada setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh : 

S = {u1,u2, ........... , un} dengan u1 = [1,2,1], u2 = [1,-1,1] dan u3 = [1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R³ karena [u1,u2] = [u1,u3] = [u2,u3] = 0.

Istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi.

Catatan : 

1.Jika S = {u1, u2,…,un} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

x = [x,u1]u1 + [x,u2]u2 + … + [x,un]un

2. Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u1,u2,…,un} himpunan ortonormal. Jika W ruang yang dibangun oleh u1,u2,…,un maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana : 

v = [v,u1]u1 + [v,u2]u2 + … + [v,un]un

B. Proses Gram-Schmidt

Setiap ruang hasil kali dalam dimensi  hingga tak nol mempunyai basis ortonormal.

Misalkan S={u1,u2,…,un} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma untuk menentukan ortonormal B={v1,v2,…,vn} untuk V adalah sebagai berikut, 

Basis dan Basis Ruang Vektor(Ruang Baris,Ruang Kolom dan Ruang Nul)

 Nama : Rafi Ramadhan Ghifari

NIM : 202231013

Kelas : A

Program Studi : Teknik Informatika

Pada kesempatan kali ini saya akan menyampaikan materi terkait Basis dan Basis Ruang Vektor

A. Pengertian Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u1, u2,…,un} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika S bebas linier dan S membangun V.

B. Pengertian Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u1, u2,…,un} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh : 

Misalkan B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R³. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R³ berdimensi tiga. 

C. Ruang Baris, Ruang kolom dan Nul

Misalkan matriks m x n dengan vektor :

Pada Rn yang dibentuk dari baris-baris, maka matriks A disebut dengan vektor baris.

Sedangkan pada Rm yang terbentuk dari kolom-kolom matriks A disebut dengan vektor kolom.

Definisi :

Jika A adalah matriks 𝑚 × 𝑛 maka subruang dari 𝑅𝑛 yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A, dan subruang dari 𝑅𝑚 yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang solusi dari sistem persamaan yang homogen 𝐴𝑥 = 0 yang merupakan subruang dari 𝑅𝑛 disebut ruang nul dari A.

Teorema  1 : 

Jika A dan dan B adalah matriks-matriks yang ekuivalen baris, maka

• Suatu himpunan vektor-vektor kolom dari dari A tertentu adalah bebas linear jika dan hanya jika vektor – vektor kolom yang bersesuaian dari B adalah bebas linear

• Suatu himpunan vektor-vektor kolom kolom dari A tertentu membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor -vektor kolom yang bersesuaian dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B. 

Teorema 2 : 

Dan jika suatu matriks R berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari R dan Vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari R.

Jika A adalah matriks sebarang, maka ruang baris dan ruang kolom dari A memiliki dimensi yang sama.

Rank = Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom.

Nulitas = Dimensi ruang null dari A.

Jika A adalah matriks dengan n kolom, maka : 

Rank (A) + Nulitas (A) = n 

Kebebasan Linier dan Kombinasi Linier

 Nama : RAFI RAMADHAN GHIFARI

NIM : 202231013

Kelas : A

Prodi : Teknik Informatika

Pada kesempatan ini saya akan membagikan materi mengenai Kebebasan Linier dan Kombinasi Linier. Materi ini masuk dalam Basis dan Dimensi yang sebelumnya saya telah bagikan di blog sebelumnya.

A. Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dapat dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor U1,U2,U3, ........ ,Un Jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : 

dimana K1,K1,K3,...,Kn adalah skalar.

Contoh :

Misalkan u = [2,-1,3]^T, v = [1,2,-2]^T, apakah x = [8,1,5]^T merupakan kombinasi linier dari u dan v ?

Perhatikan kombinasi linier x = K1u + K2v --> x = 3u + 2v

[8,1,5]^T = K1[2,-1,3]^T + K2[1,2,-2]^T

B. Kebebasan Linier

Andaikan S = {U1,U2,...,Un} adalah himpunan vektor, S dapat dikatakan bebas linier jika memenuhi kondisi dari kombinasi linier :

    K1U1+K2U2+K3U3+.....+KnUn = 0

penyelesaianya adalah trivial yakni K1 = 0, K2 = 0, .......... , Kn = 0. Jika terdapat penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.

Contoh :

Mungkin sampai disini materinya, semoga bermanfaat. Sampai jumpa di materi selanjutnya.

Gauss dan Gauss-Jordan

 Halo semua, perkenalkan saya Rafi Ramadhan Ghifari dengan NIM 202231013 dari kelas A prodi Teknik Informatika. Pada kesempatan ini saya akan memaparkan materi mengenai Gauss dan Gauss-Jordan.

A. Pengertian Gauss

Metode Gauss atau biasa disebut eliminasi Gauss adalah algoritma yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Algoritma ini terdiri dari serangkaian operasi yang dilakukan pada matriks koefisien dari sistem persamaan tersebut.

Contoh soal :

Tentukan nilai a,b,c,d yang memenuhi sistem persamaan berikut menggunakan metode Eliminasi Gauss

Jawab :

*diubah menjadi bentuk matriks

*diselesaikan dengan Gauss

*maka didapatkan sistem persamaan baru

Dengan mensubstitusi d = -3 ke persamaan 2 dan 3, didapatkan nilai b = 2 dan c = 3. Selanjutnya substitusi nilai b = 2, c = 3, dan d = -3 ke persamaan 1, maka didapatkan hasil a = 1. Jadi hasil akhir dari SPLnya adalah 

*a = 1

*b = 2

*c = 3

*d = -3

B. Pengertian Gauss-Jordan

Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Cara ini dapat digunakan juga sebagai salah satu metode penyelesaian SPL Matriks.

Contoh :

Diberikan SPL sebagai berikut, selesaikan dengan metode Gauss-Jordan

*Model matriks dari SPL

*penyelesaian SPL diatas adalah a = 2, b = 1, c = -1, d = 2

*inti dari Gauss-Jordan adalah mengubah model matriks diatas menjadi matriks identitas